DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas.

La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber cuantas veces la una contiene a la otra.

Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.

Consideramos los puntos A(X1,Y1) y B(X2, Y2) los extremos de una recta. Sea  P(X, Y) el punto de división que se encuentra entre la recta, como se indica en la figura:

Por su diferencia de segmentos se obtienen los valores de los catetos de dos triángulos rectángulos formados:

El punto P(X, Y) divide el segmento en la relación , como AB y PB mismo sentido el valor de r será positivo,

Si el punto P(X, Y) se encuentra fuera de los extremos A y B en el sentido de AP y PB serían opuestos y el valor de r será negativo como se indica en la figura siguiente:

Considerando los triángulos semejantes formados tendremos una relación de hipotenusas y catetos de la siguiente manera:

Despejando a X;

, ,

factorizando 

por lo tanto:

Análogamente:

despejando Y;

, , , factorizando

, por lo tanto:

Caso Particular:

Si el punto de división P(X, Y) está a la mitad del segmento AB como se indica en la figura tendremos:

Las coordenadas de P(X, Y) con el valor de r = 1 serán:

 

En este caso el punto P(X, Y) se le llaman el punto medio Pm y tendremos:

Donde: